选择题
5.[2009年] 若f″(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2．则函数f(x)在区间(1，2)内( )．
【正确答案】
B
【答案解析】由曲率圆知曲线y=f(x)在点(1，1)处与x2+y2=2有相同的切线和曲率，从而可求出f′(1)与f″(1)．其次由f″(x)不变号可判断函数f(x)在区间[1，2]上的单调性，从而无极值点．最后利用零点定理知f(x)有零点．
由曲率圆的定义知，曲率圆与曲线在点(1，1)处有相同切线与曲率，且在点(1，1)的附近有相同凹向．在x2+y2=2两边对x求导得x+yy′=0，将y(1)=1代入得到y′(1)=一1.
再次求导得到l+y′2+yy″=0，将y(1)=1，y′(1)=一1代入得到y″(1)=一2．由曲率圆的概念知，f′(1)=y′(1)=一l，f″(1)=y″(1)=－2．
又f″(x)不变号，故f″(x)＜0，即f(x)是一个凸函数，且在[1，2]上f′(x)单调减少．
于是f′(x)≤f′(1)=一l＜0，即在(1，2)上f(x)没有极值点．使用拉格朗日中值定理，得到
f(2)一f(1)=f′(ξ)＜一1， ξ∈(1，2)，
故f(2)=f′(ξ)+f(1)＜－1+1=0，而f(1)=1＞0(见图1．2．5．2)，由零点定理知f(x)在区间(1，2)内有零点．仅(B)入选．
由曲率圆的定义知，曲率圆与曲线在点(1，1)处有相同切线与曲率，且在点(1，1)的附近有相同凹向．在x2+y2=2两边对x求导得x+yy′=0，将y(1)=1代入得到y′(1)=一1.
再次求导得到l+y′2+yy″=0，将y(1)=1，y′(1)=一1代入得到y″(1)=一2．由曲率圆的概念知，f′(1)=y′(1)=一l，f″(1)=y″(1)=－2．
又f″(x)不变号，故f″(x)＜0，即f(x)是一个凸函数，且在[1，2]上f′(x)单调减少．
于是f′(x)≤f′(1)=一l＜0，即在(1，2)上f(x)没有极值点．使用拉格朗日中值定理，得到
f(2)一f(1)=f′(ξ)＜一1， ξ∈(1，2)，
故f(2)=f′(ξ)+f(1)＜－1+1=0，而f(1)=1＞0(见图1．2．5．2)，由零点定理知f(x)在区间(1，2)内有零点．仅(B)入选．