解答题
23.设总体X服从[0，θ]上的均匀分布，X1，X2，X3，…，Xn是取自总体X的一个简单随机样本，试求：
(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量
；
(Ⅱ)
(Ⅰ)未知参数θ的最大似然估计量
；(Ⅱ)
【正确答案】(Ⅰ)似然函数
由于函数L在
处间断，当
时，函数L＝0。当
是θ的单调减函数，因此当
时，L达到最大值，于是θ的最大似然估计量为
(Ⅱ)为求
的期望值，先求
的分布。由于总体X服从[0，θ]上的均匀分布，因此Xi(i＝1，2，…，n)也服从[0，θ]上的均匀分布。其分布函数为
概率密度为
记
的分布函数为G(x)，密度函数为g(x)，则当x<0时，G(x)＝0；当x>θ时，G(x)＝1；当0≤x≤θ时，
由于X1，X2，…，Xn相互独立，于是有
因此
不是参数θ的无偏估计量。
由于函数L在
处间断，当时，函数L＝0。当是θ的单调减函数，因此当时，L达到最大值，于是θ的最大似然估计量为(Ⅱ)为求
的期望值，先求的分布。由于总体X服从[0，θ]上的均匀分布，因此Xi(i＝1，2，…，n)也服从[0，θ]上的均匀分布。其分布函数为概率密度为
记
的分布函数为G(x)，密度函数为g(x)，则当x<0时，G(x)＝0；当x>θ时，G(x)＝1；当0≤x≤θ时，由于X1，X2，…，Xn相互独立，于是有
因此
不是参数θ的无偏估计量。【答案解析】本题考查参数估计。利用似然函数的结果进行讨论，似然函数在
处是间断的，因此对其两端进行讨论，找出似然函数的最大值。根据
的概率分布函数求概率密度；再根据
，比较
处是间断的，因此对其两端进行讨论，找出似然函数的最大值。根据的概率分布函数求概率密度；再根据，比较