问答题
设f(x)在区间[2，4]上具有二阶连续导数f"(x)，且f(3)=0，证明：存在一点ξ∈(2，4)，使得
【正确答案】[证明] 令F(x)=
，可知F(x)三阶连续可导，由二阶的泰勒公式得
，其中ξ1∈(2，3)．
，其中ξ2∈(3，4)
即
，
则有
，即
因为f"(x)在[ξ1，ξ2]
(2，4)上连续，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上有界，故存在实数m和M(m≤M)，使得m≤
≤M成立，所以由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]
(2，4)，使得f"(ξ)=
，于是有
，可知F(x)三阶连续可导，由二阶的泰勒公式得，其中ξ1∈(2，3)．，其中ξ2∈(3，4)即
，则有
，即因为f"(x)在[ξ1，ξ2]
(2，4)上连续，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上有界，故存在实数m和M(m≤M)，使得m≤≤M成立，所以由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2](2，4)，使得f"(ξ)=，于是有【答案解析】