解答题
3.设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且|f(x)|≤1，又f2(0)+[f'(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f”(ξ)=0．
【正确答案】由拉格朗日中值定理有
f(0)一f(-2)=2f'(ξ1)，一2＜ξ1＜0，
f(2)-f(0)=2f'(ξ2)，0＜ξ2＜2．
由|f(x)|≤1知|f'(ξ1)|=
令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．
因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在点ξ∈(ξ1，ξ2)
f(0)一f(-2)=2f'(ξ1)，一2＜ξ1＜0，
f(2)-f(0)=2f'(ξ2)，0＜ξ2＜2．
由|f(x)|≤1知|f'(ξ1)|=
令φ(x)=f2(x)+[f'(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．
因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的最大值在点ξ∈(ξ1，ξ2)
【答案解析】