解答题
设向量α=[a1，a2，…，an]T，β=[b1，b2，…，bn]T都是非零向量，满足aTβ=0，记n阶矩阵A=αβT．求
问答题
9.A2；
【正确答案】注意到A为一列向量α与一行向量βT之积，得到
A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(βTα)A=(βTα)TA=(αTβ)A=0·A=0．
A2=A·A=αβT·αβT=α(βTα)βT=(βTα)αβT=(βTα)A=(βTα)TA=(αTβ)A=0·A=0．
【答案解析】
问答题
10.A的特征值和特征向量．
【正确答案】①求A的特征值．
解一 设Aα=λα(α≠0)，则A·Aα=λAα=λ2α，即λ2α=0．因α≠0，故λ=0，即A的所有特征值等于0．
解二 由A=αβ得秩(A)≤秩(α)=1，又A≠O，秩(A)≥1，故秩(A)=1．由命题2．5．1．5知，A的n个特征值为
λ1=λ1=…=λn-1，
解三 因为A为幂零矩阵，由命题2．5．1．9知，其特征值都为0．
②下面求A的属于λ=0的特征向量．为此解(0E—A)X=0，即AX=0．
因α，β≠0，不妨设a1≠0，b1≠0，用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到
解一 设Aα=λα(α≠0)，则A·Aα=λAα=λ2α，即λ2α=0．因α≠0，故λ=0，即A的所有特征值等于0．
解二 由A=αβ得秩(A)≤秩(α)=1，又A≠O，秩(A)≥1，故秩(A)=1．由命题2．5．1．5知，A的n个特征值为
λ1=λ1=…=λn-1，
解三 因为A为幂零矩阵，由命题2．5．1．9知，其特征值都为0．
②下面求A的属于λ=0的特征向量．为此解(0E—A)X=0，即AX=0．
因α，β≠0，不妨设a1≠0，b1≠0，用初等行变换化为含最高阶单位矩阵的矩阵，得到
【答案解析】