【正确答案】[证明] (1)所谓齐次方程组[*]的解γ．其实就是(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解．因此γ必可由η₁，η₂，η₃线性表出也可由ξ₁，ξ₂线性表出．
因为η₁，η₂，η₃，ξ₁，ξ₂是五个四维向量，必线性相关．故存在不全为零的k₁，k₂，k₃，l₁，l₂，使
k₁η₁+k₂η₂+k₃η₃+l₁ξ₁+l₂ξ₂=0
那么令γ=k₁η₁+k₂η₂+k₃η₃=-(l₁ξ₁+l₂ξ₂)，则γ≠0(否则，由η₁，η₂，η₃是基础解系是线性无关的，而得k₁=k₂=k₃=0，同理l₁=l₂=0，与k₁，k₂，k₃，l₁，l₂不全为零相矛盾)
于是γ是(Ⅰ)和(Ⅱ)的公共解，即(Ⅲ)必有非零解．
[解] (2)设γ=x₁η₁+x₂η₂+x₃η₃=-y₁ξ₁-y₂ξ₂，则x₁η₁+x₂η₂+x₃η₃+y₁ξ₁+y₂ξ₂=0
对(η₁,η₂,η₃,ξ₁,ξ₂)作初等行变换，有
[*]
得通解
k(1,-4,-2,-1,2)^T，k为任意常数．
那么由y₁=-k，y₂=2k得(Ⅲ)有通解为
k(ξ₁-2ξ₂)=k(-1,-4,0,-2)^T，k为任意常数．