设f(x)一e
x
一∫
0
x
(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．
【正确答案】正确答案：由f(x)=e
x
一∫
0
x
(x一t)f(t)dt，得f(x)=e
x
一x∫
0
x
f(t)dt+∫
0
x
tf(t)dt， 两边对x求导，得f"(x)=e
x
一f(t)dt，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=e
x
，其通解为f(x)=C
1
cosx+C
2
sinx+
e
x
．在f(x)=e
x
∫
0
x
(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f(x)=e
x
—∫
0
x
f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，于是有C
1
=
，C
2
=
，故f(x)=
(cos+sinx)+
e
x
．在f(x)=e
x
∫
0
x
(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f(x)=e
x
—∫
0
x
f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，于是有C
1
=
，C
2
=
，故f(x)=
(cos+sinx)+
【答案解析】