问答题
某消费者具有效用函数U(X，Y)=X
1／2
Y
1／2
，X和Y，的单位价格均为4元，该消费者的收入为144元。试问：
(1)为使消费者的效用最大化，消费者对X和Y的需求应该各为多少单位?(要求写出最优化问题，然后求解。)
(2)消费者的总效用是多少?每单位货币的边际效用是多少?
(3)若X的单位价格上升为9元，对两种商品的需求有何变化?此时总效用为多少?
(4)X的单位价格上升为9元后，若要维持当初的效用水平，消费者的收入最少应该达到多少?(要求写出最优化问题，然后求解。)
(5)求X的价格上升为9元所带来的替代效应和收入效应。(中山大学2005研；北京航空航天大学2009研)
【正确答案】正确答案：(1)根据题意，预算方程为4X+4Y=144，那么144-4X-4Y=0。 令U=X
1／2
Y
1／2
+λ(144-4X-4Y)，若U所有一阶偏导数为零则U极大化，即
=1／2X
-1／2
Y
1／2
-4λ=0；
=1／2X
1／2
Y
-1／2
-4λ=0；
=144-4X-4Y=0。 解方程组可得X=18，Y=18。 (2)总效用U=X
1／2
Y
1／2
=18
1／2
18
1／2
-18。 每单位货币的边际效用λ=MU
X
／P
X
=MU
Y
／P
Y
=1／8。 (3)若X的单位价格上升为9元，预算方程变为9X+4Y=144，使得U极大应满足条件：
=1／2X
-1／2
Y
1／2
-9λ=0，
=1／2X
1／2
Y
-1／2
-4λ=0，
=144-9X-4Y=0。 解方程组可得X=8，Y=18。 总效用U=X
1／2
Y
1／2
=8
1／2
18
1／2
=12。
现在P
X
=9，MU
X
／P
X
=MU
Y
／P
Y
也就是
=1／2X
-1／2
Y
1／2
-4λ=0；
=1／2X
1／2
Y
-1／2
-4λ=0；
=144-4X-4Y=0。 解方程组可得X=18，Y=18。 (2)总效用U=X
1／2
Y
1／2
=18
1／2
18
1／2
-18。 每单位货币的边际效用λ=MU
X
／P
X
=MU
Y
／P
Y
=1／8。 (3)若X的单位价格上升为9元，预算方程变为9X+4Y=144，使得U极大应满足条件：
=1／2X
-1／2
Y
1／2
-9λ=0，
=1／2X
1／2
Y
-1／2
-4λ=0，
=144-9X-4Y=0。 解方程组可得X=8，Y=18。 总效用U=X
1／2
Y
1／2
=8
1／2
18
1／2
=12。
现在P
X
=9，MU
X
／P
X
=MU
Y
／P
Y
也就是
【答案解析】