解答题
28.求微分方程y"+a2y=sinx的通解，其中常数a＞0．
【正确答案】对应的齐次方程的通解为
Y=C1cos a+C2sin ax．
(1)当a≠1时，特征根±ai≠±i．
设原方程的特解为y=Asinx+Bcosx，代入方程，得
A(a2－1)sinx+B(a2－1)cos x=sinx，
解得
故原方程的特解为
(2)当a=1时，设原方程的特解为y=x(Asin x+Bcosx)，代入原方程，得
2Acos x-2Bsinx=sinx，
解得
故原方程的特解为
综合上述讨论，得
当a≠1时，通解为
当a=1时，通解为
Y=C1cos a+C2sin ax．
(1)当a≠1时，特征根±ai≠±i．
设原方程的特解为y=Asinx+Bcosx，代入方程，得
A(a2－1)sinx+B(a2－1)cos x=sinx，
解得
故原方程的特解为
(2)当a=1时，设原方程的特解为y=x(Asin x+Bcosx)，代入原方程，得
2Acos x-2Bsinx=sinx，
解得
故原方程的特解为
综合上述讨论，得
当a≠1时，通解为
当a=1时，通解为
【答案解析】