解答题
19.设函数f(χ)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0且存在反函数，其反函数为g(χ)．若∫0f(χ)g(t)dt＋∫1χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1，求f(χ)．
【正确答案】将∫0f(χ)g(t)dt＋∫0χf(t)dt＝χeχ－eχ＋1两边对χ求导数，
得：f′(χ)g(f(χ))＋f(χ)＝χeχ．
即：f′(χ)＋f(χ)＝χeχ，
即：[χf(χ)]′＝χeχ，
两边积分得：χf(χ)＝∫χeχdχ＝χeχ－eχ＋C，即
因为f(χ)在＝0处连续，所以f(0)＝
＝0，所以C＝1
所以
得：f′(χ)g(f(χ))＋f(χ)＝χeχ．
即：f′(χ)＋f(χ)＝χeχ，
即：[χf(χ)]′＝χeχ，
两边积分得：χf(χ)＝∫χeχdχ＝χeχ－eχ＋C，即
因为f(χ)在＝0处连续，所以f(0)＝
＝0，所以C＝1所以
【答案解析】