问答题
已知A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是线性无关的3维列向量组，满足Aα
1
=-α
1
-3α
2
-3α
3
，Aα
2
=4α
1
+4α
2
+α
3
)，Aα
3
=-2α
1
+3α
3
。
(Ⅰ)求A的特征值；
(Ⅱ)求A的特征向量；
(Ⅲ)求A
*
-6E的秩。
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)记P=(α
1
，α
2
，α
3
)，因为α
1
，α
2
，α
3
是线性无关，所以P是可逆矩阵。AP=(Aα
1
，Aα
2
，Aα
3
)=(-α
1
-3α
2
-3α
3
，4α
1
+4α
2
+α
3
，-α
1
，+3α
3
)=(α
1
，α
2
，α
3
)
(此处用了矩阵分解)。记B=
，则AP=PB，即p
-1
AP=B，A与B相似，特征值一样，求B的特征多项式
。得A的特征值为1，2，3。 (Ⅱ)先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量。(如果Bη=λη，则p
-1
APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)。) 对于特征值1：
，B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1，1，1)
T
，c≠0。则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
，c≠0。 对于特征值2：
，B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)
T
，c≠0。则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
，c≠0。 对于特征值3：
，B的属于特征值3的特征向量(即(B-3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)
T
，c≠0。则A的属于特征值3的特征向量为c(α
1
+3α
2
+4α
3
)
T
，c≠0。 (Ⅲ)由A的特征值为1，2，3，︱A︱=6，于是A
*
的特征值为6，3，2，A
*
-6E的特征值为0，-3，-4。 于是A
*
-6E～
(此处用了矩阵分解)。记B=
，则AP=PB，即p
-1
AP=B，A与B相似，特征值一样，求B的特征多项式
。得A的特征值为1，2，3。 (Ⅱ)先求B的特征向量，用P左乘之得到A的特征向量。(如果Bη=λη，则p
-1
APη=λη，即A(Pη)=λ(Pη)。) 对于特征值1：
，B的属于特征值1的特征向量(即(B-E)x=0的非零解)为c(1，1，1)
T
，c≠0。则A的属于特征值1的特征向量为c(α
1
+α
2
+α
3
)
T
，c≠0。 对于特征值2：
，B的属于特征值2的特征向量(即(B-2E)x=0的非零解)为c(2，3，3)
T
，c≠0。则A的属于特征值2的特征向量为c(2α
1
+3α
2
+3α
3
)
T
，c≠0。 对于特征值3：
，B的属于特征值3的特征向量(即(B-3E)x=0的非零解)为c(1，3，4)
T
，c≠0。则A的属于特征值3的特征向量为c(α
1
+3α
2
+4α
3
)
T
，c≠0。 (Ⅲ)由A的特征值为1，2，3，︱A︱=6，于是A
*
的特征值为6，3，2，A
*
-6E的特征值为0，-3，-4。 于是A
*
-6E～
【答案解析】