问答题
设函数f(x)在闭区间[a，b]上具有二阶导数，f(a)＜0，f(b)＜0，且
【正确答案】
【答案解析】[证] 因f(x)在闭区间[a，b]上具有2阶导数，故f(x)在其上连续；又f(a)，f(b)均为负，故分别存在小区间[a，a+ε
1
)与(b-ε
2
，b](ε
1
，ε
2
为正常数)，使f(x)在此二小区间内也都为负．而
从而
，即在开区间(a，b)内至少存在一个小区间．使f(x)在此小区间内为正，由此可知f(x)在[a，b]上的最大值为正数，最大值点η∈(a，b)，且f"(η)=0．对于z∈[a，b]，有泰勒展开式
其中ξ位于x与η之间，
令x=a，得
于是f"(ξ)与f(a)-f(η)＜0同号，即f"(ξ)＜0． [解析] 本题证明的关键是找到条件“两个端点的函数值为负”，与“
从而
，即在开区间(a，b)内至少存在一个小区间．使f(x)在此小区间内为正，由此可知f(x)在[a，b]上的最大值为正数，最大值点η∈(a，b)，且f"(η)=0．对于z∈[a，b]，有泰勒展开式
其中ξ位于x与η之间，
令x=a，得
于是f"(ξ)与f(a)-f(η)＜0同号，即f"(ξ)＜0． [解析] 本题证明的关键是找到条件“两个端点的函数值为负”，与“