问答题
由N段阻值为R的均匀导线连接成正多边形，顶点分别为A
1
，A
2
，…，A
N
，多边形中点O也以相同导线与各顶点连接。设O点电压为零，A
1
点外加电压为1V，证明任意相邻两顶点A
k
与A
k-1
间的电流可用下式表示：
式中
式中
【正确答案】
【答案解析】证明 设顶点A
k
(k=1，2，…，N)的电位为E
k
，导线OA
k
的电阻为r。
由图，对顶点A k ，由KCL，有
I (k) =I k +I (k+1) ①
又
代入式①得
整理得
由图知，
，于是
，故最终得差分方程
再回到需证明的结论上来，由双曲正弦、双曲余弦函数的积化和、差公式2sinhA·sinhB=cosh(A+B)-cosh(A-B)，知
将其与
进行对比，可设想
于是
这里
，即
将式③、④、⑤代入式②的左边，得
左边
将式⑥代入上式，同时考虑到
cosh(N-2k-4)θ+cosh(N-2k)θ=2cosh(N-2k-2)θ·cosh2θ
从而有左边
说明式③中的E k 是方程②的解，从而证明了任意相邻两顶点A k 与A k-1 间的电流为
由图，对顶点A k ，由KCL，有
I (k) =I k +I (k+1) ①
又
代入式①得
整理得
由图知，
，于是
，故最终得差分方程
再回到需证明的结论上来，由双曲正弦、双曲余弦函数的积化和、差公式2sinhA·sinhB=cosh(A+B)-cosh(A-B)，知
将其与
进行对比，可设想
于是
这里
，即
将式③、④、⑤代入式②的左边，得
左边
将式⑥代入上式，同时考虑到
cosh(N-2k-4)θ+cosh(N-2k)θ=2cosh(N-2k-2)θ·cosh2θ
从而有左边
说明式③中的E k 是方程②的解，从而证明了任意相邻两顶点A k 与A k-1 间的电流为