证：用反证法进行证明。由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r为对应齐次线性方程组AX=0的基础解系，

知ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性无关。

设ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，η线性相关，

则η可由ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r线性表示，即η=k₁ξ₁+k2ξ₂+…+k_n-rξ_n-r。

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组的解，

故η必是AX=0的解，

这与已知条件η为AX=b(b≠0)的一个解相矛盾。

由上可知，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r，η线性无关。