【正确答案】(I)由f_n(0)＝－1﹤0，f_n(1)＝n－1>0，n＝2，3，…，所以f_n(x)＝0在区间(0，1)内存在实根，记为x_n．
以下证在区间(0，﹢∞)内至多存在一个实根．事实上，
f_n^’(x)＝1﹢2x﹢3x﹢…﹢nx^n－1﹥0，x∈(0，﹢∞)．
所以在区间(0，﹢∞)内f_n(x)＝0至多存在一个实根．结合以上讨论至少一个至多一个，所以f_n(x)＝0在区间(0，﹢∞)内存在唯一的实根，且在区间(0，1)内．记此根为x_n(n＝2，3，…)．
(Ⅱ)欲求，先证其存在，为此，证{x_n}单调减少．
0＝f_n(x_n)－f_n﹢1(x_n﹢1)
＝(_n﹢_n²﹢…﹢x_nⁿ)－(_n﹢1﹢_n﹢1²﹢…﹢x_n﹢1ⁿ﹢x_n﹢1^n﹢1)
＝(x_n－x_n﹢1)[1﹢(x_n﹢_n﹢1)﹢…﹢(x_n^n－1﹢x_n^n－2x_n﹢1﹢…﹢x_n﹢1^n－1]－x_n﹢1^n－1．
由[ ]内为正，等号左边为0，所以x_n－x_n﹢1﹥0(n＝2，3，…)，不然上面等号右边为负，与左边为零矛盾．于是知{x_n}随n增加而严格单调减少，且有下界(x_n﹥0)．所以

另一方面，由x_n﹤x₂﹤1(n>2)，所以0﹤x_nⁿ﹤x₂ⁿ．
但0﹤x₂﹤1，由夹逼定理知＝0．
由0＝f_n(x_n)＝x_n﹢x_n²﹢…﹢x_nⁿ－1