问答题 利用DFT的卷积性质求题中各对序列的线性卷积。(提示：为了DFT计算方便可以取N=8。)
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
(2)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
(3)f 1 (k){1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
(4)f 1 (k){1，2，3，4}，f 2 (k)={0，1，0}
【正确答案】
【答案解析】解 因为线性卷积结果的长度为两序列长度之和减1，本题中可计算8点DFT，这样可保证利用DFT的卷积性质求得的结果与线性卷积的结果相同。以下计算中只涉及W 8 。
(1)f 1 (k)={4，2，10，5}，f 2 (k)={3，7，9，11}
先求8点的F 1 (m)和F 2 (m)。
F 1 (0)=4+2+10+5+0+0+0+0=21

F 1 (2)=4×1+2×(-j)+10×(-1)+5×j=-6+j3

且

于是

最后求8点IDFT，得

即f 1 (k)*f 2 (k)={12，34，80，147，147，155，55，0}
(2)f 1 (k)={1，2，3，4}，f 2 (k)={1，1，1，1}
先求8点的F 1 (m)和F 2 (m)。

且

于是

最后求8点IDFT，得


即f 1 (k)*f 2 (k)={1，3，6，10，9，7，4，0}
(3)f 1 (k)={1，1，1，1}，f 2 (k)={1，1，1}
由第(2)小题可知

下面只需计算F 2 (m)。

于是

最后求8点IDFT，得
f(0)=1，f(1)=2，f(2)=3，f(3)=3，
f(4)=2，f(5)=1，f(6)=f(7)=0
即f 1 (k)*f 2 (k)={1，2，3，3，2，1，0，0}
(4)f 1 (k)={1，2，3，4}，f 2 (k)={0，1，0}
由第(2)小题可知

下面只需计算F 2 (m)。

于是