设α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
为R
n
中的非零向量，方阵A=αα
T
．
问答题
证明：对于正整数m，存在常数t，使A
m
=t
m—1
A，并求出t；
【正确答案】正确答案：A
m
=(αα
T
)(αα
T
)…(αα
T
)=α(α
T
α)
m—1
α
T
=(α
T
α)
m—1
(αα
T
)=(
a
i
m—1
)
m—1
A=t
m—1
A，其中t=
a
i
m—1
)
m—1
A=t
m—1
A，其中t=
【答案解析】
问答题
求可逆矩阵P，使P
—1
AP为对角阵A．
【正确答案】正确答案：A≠O．A
T
=A，1≤r(A)=r(αα
T
)≤r(α)=1，→r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩．故矩阵A只有一个非零特征值，而有n—1重特征值λ
1
=λ
2
=…=λ
n—1
=0．A的属于特征值0的线性无关特征向瞳可取为(设a
1
≠0)： ξ
1
=(一
，1，0，…，0)
T
，ξ
2
=(一
，0，1，…，0)
T
，…，ξ
n—1
=(一
，0，0，…．1)
T
；属于特征值λ
n
=
a
i
2
的特征值为α，令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
n—1
α]，则有P
—1
AP=diag(0，0，…，0，
a
i
2
)对角阵．其中，λ
n
的求法可利用特征值的性质：λ
1
+λ
2
+…+λ
n—1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)
，1，0，…，0)
T
，ξ
2
=(一
，0，1，…，0)
T
，…，ξ
n—1
=(一
，0，0，…．1)
T
；属于特征值λ
n
=
a
i
2
的特征值为α，令矩阵P=[ξ
1
ξ
2
… ξ
n—1
α]，则有P
—1
AP=diag(0，0，…，0，
a
i
2
)对角阵．其中，λ
n
的求法可利用特征值的性质：λ
1
+λ
2
+…+λ
n—1
+λ
n
=(A的主对角线元素之和)
【答案解析】