解答题
1.(Ⅰ)证明方程xn+xn一1+…+x=1(n为大于1的整数)在区间(
，1)内有且仅有一个实根；
(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明
，1)内有且仅有一个实根；(Ⅱ)记(Ⅰ)中的实根为xn，证明
【正确答案】(Ⅰ)令f(x)=xn+xn一1+…+x一1(x＞1)，则f(x)在[
，1]上连续，且
由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(x)=0在(
，1)内至少有一个实根．
当 x ∈(
，1)时 ，
f(x) =nxn一1+ (n一1)xn一2+…+2x+1＞ 1 ＞ 0，
故f(x)在(
，1)内单调增加．
综上所述，方程f(x)=0在(
，1)内有且仅有一个实根．
(Ⅱ)由xn∈(
，1)知数列{xn}有界，又
xnn+xnn一1+…+xn=1
xn+1n+1+xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1=1
因为xn+1n+1＞0，所以
xnn+xnn一1+…+xn＞xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1
于是有
xn＞xn+1，n=1，2，…，
即{xn}单调减少．
综上所述，数列{xn}单调有界，故{xn}收敛．
，1]上连续，且由闭区间上连续函数的介值定理知，方程f(x)=0在(
，1)内至少有一个实根．当 x ∈(
，1)时 ，f(x) =nxn一1+ (n一1)xn一2+…+2x+1＞ 1 ＞ 0，
故f(x)在(
，1)内单调增加．综上所述，方程f(x)=0在(
，1)内有且仅有一个实根．(Ⅱ)由xn∈(
，1)知数列{xn}有界，又xnn+xnn一1+…+xn=1
xn+1n+1+xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1=1
因为xn+1n+1＞0，所以
xnn+xnn一1+…+xn＞xn+1n+xn+1n一1+…+xn+1
于是有
xn＞xn+1，n=1，2，…，
即{xn}单调减少．
综上所述，数列{xn}单调有界，故{xn}收敛．
【答案解析】