问答题
求xOy平面上一曲线，使其过每点的切线同该点的向径及Oy轴构成一个等腰三角形．
【正确答案】
【答案解析】[解] 设所求的曲线为y=f(x)．曲线上点(x，y)处的切线方程为
Y-y-f"(x)(X-x)．
令X=0，A点坐标[0，y-xf"(x)]．
(1)若AB=AC，则
[y-xf"(x)] 2=x 2 +[xf"(x)] 2 ，化简，得
令u=y 2 ，则
为一阶线性方程
得解u=-x 2 +cx，即y 2 +x 2 -cx=0．
(2)若AC=BC，则
x 2 +[xf"(x)] 2 =x 2 +y 2 ，
所以y=cx(舍去)，xy=c．
(3)若AB=BC，则
(y-xf"(x)) 2 =x 2 +y 2 ，化简得-2yf"(x)+x[f"(x)] 2 =x，
Y-y-f"(x)(X-x)．
令X=0，A点坐标[0，y-xf"(x)]．
(1)若AB=AC，则
[y-xf"(x)] 2=x 2 +[xf"(x)] 2 ，化简，得
令u=y 2 ，则
为一阶线性方程
得解u=-x 2 +cx，即y 2 +x 2 -cx=0．
(2)若AC=BC，则
x 2 +[xf"(x)] 2 =x 2 +y 2 ，
所以y=cx(舍去)，xy=c．
(3)若AB=BC，则
(y-xf"(x)) 2 =x 2 +y 2 ，化简得-2yf"(x)+x[f"(x)] 2 =x，