问答题
求一条凹曲线，已知其上任意一点处的曲率
其中a为该曲线上在相应的点处的切线的倾角，cos α＞0．并设该曲线在点(3，2)处的切线的倾角为
其中a为该曲线上在相应的点处的切线的倾角，cos α＞0．并设该曲线在点(3，2)处的切线的倾角为
【正确答案】
【答案解析】[解] 由曲率计算公式以及曲线凹向可知y"≥0，故
因为
因此得微分方程
整理得 2y 2 y"=(1+y" 2 ) 2 ．
此为y"=f(y,y")型方程．令
于是上述微分方程化为
分离变量得
两边积分，得 y=(p 2 +1)+C 1 y(p 2 +1).
由于曲线在点(3,2)处切线倾角为
故y(3)=2，y"(3)=1．有2=2+4C
1
，C
1
=0．
于是有
(因y"在y=2时为1，故“±”取“+”)．
再分离变量积分得
再由y(3)=2，得C 2 =-1．有
因为
因此得微分方程
整理得 2y 2 y"=(1+y" 2 ) 2 ．
此为y"=f(y,y")型方程．令
于是上述微分方程化为
分离变量得
两边积分，得 y=(p 2 +1)+C 1 y(p 2 +1).
由于曲线在点(3,2)处切线倾角为
故y(3)=2，y"(3)=1．有2=2+4C
1
，C
1
=0．
于是有
(因y"在y=2时为1，故“±”取“+”)．
再分离变量积分得
再由y(3)=2，得C 2 =-1．有