解答题
2.求下列不定积分：
(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；
(Ⅱ)∫x2sin2xdx；
(Ⅲ)
(Ⅰ)∫arcsinx.arccosxdx；
(Ⅱ)∫x2sin2xdx；
(Ⅲ)
【正确答案】(Ⅰ)按照上表第二栏所讲的方法，有
∫arcsinx.arccosxdx
xarcsinx.arccosx－∫x(
)dx
=xarcsinx.arccosx+∫(arccosx－arcsinx)d
=xarcsinx.arccosx+
(arccosx－arcsinx)+2x+C．
(Ⅱ)由于sin2x=
(1－cos2x)，所以
∫x2sin2xdx=
∫x2dsin2x．
连续使用分部积分法得
(Ⅲ)
其中
已求出，注意到等式右端也包含积分
dx，因而得到
关于
dx的方程，解得
∫arcsinx.arccosxdx
xarcsinx.arccosx－∫x()dx=xarcsinx.arccosx+∫(arccosx－arcsinx)d
=xarcsinx.arccosx+
(arccosx－arcsinx)+2x+C．(Ⅱ)由于sin2x=
(1－cos2x)，所以∫x2sin2xdx=
∫x2dsin2x．连续使用分部积分法得
(Ⅲ)
其中
已求出，注意到等式右端也包含积分dx，因而得到关于
dx的方程，解得【答案解析】