设二次型f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝X
T
AX＝aχ
1
2
＋2χ
2
2
－2χ
3
2
＋2bχ
1
χ
3
，(b＞0)其中A的特征值之和为1，特征值之积为－12．
(1)求a，b．
(2)用正交变换化f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)为标准型．
【正确答案】正确答案：(1)A＝
由条件知，A的特征值之和为1，即a＋2＋(－2)＝1，得a＝1． 特征值之积＝12，即｜A｜＝－12，而 ｜A｜＝
＝2(－2－b
2
) 得b＝2(b＞0)．则A＝
(2)｜AE－A｜＝
＝(λ－2)
2
(λ＋3)， 得A的特征值为2(二重)和－3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－2E)X＝0的非零解． A－2E＝
得(A－2E)X＝0的同解方程组χ
1
－2χ
3
＝0，求出基础解系η
1
＝(0，1，0)
T
，η
3
＝(2，0，1)
T
．它们正交，单位化：α
1
＝η
1
，α
2
＝
求－3的一个单位特征向量： A＋3E＝
(A＋3E)X＝0的同解方程组
得一个η
1
＝(1，0，－2)
T
，单位化得α
3
＝
作正交矩阵Q＝(α
1
，α
2
，α
3
)，则 Q
T
AQ＝
由条件知，A的特征值之和为1，即a＋2＋(－2)＝1，得a＝1． 特征值之积＝12，即｜A｜＝－12，而 ｜A｜＝
＝2(－2－b
2
) 得b＝2(b＞0)．则A＝
(2)｜AE－A｜＝
＝(λ－2)
2
(λ＋3)， 得A的特征值为2(二重)和－3(一重)． 对特征值2求两个单位正交的特征向量，即(A－2E)X＝0的非零解． A－2E＝
得(A－2E)X＝0的同解方程组χ
1
－2χ
3
＝0，求出基础解系η
1
＝(0，1，0)
T
，η
3
＝(2，0，1)
T
．它们正交，单位化：α
1
＝η
1
，α
2
＝
求－3的一个单位特征向量： A＋3E＝
(A＋3E)X＝0的同解方程组
得一个η
1
＝(1，0，－2)
T
，单位化得α
3
＝
作正交矩阵Q＝(α
1
，α
2
，α
3
)，则 Q
T
AQ＝
【答案解析】