解答题
4.
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组A
k
x=0有解向量α，且A
k-1
α≠0．证明：向量组α，Aα
2
，…，A
k-1
α是线性无关的．
【正确答案】
设有常数λ
0
，λ
1
，¨λ
k-1
，使得λ
0
α+λ
1
α+…+λ
k-1
A
k-1
α=0，则有 A
k-1
(λ
0
α+λ
1
Aα+…+λ
k-1
A
k-1
α)=0，从而得到λ
0
A
k-1
α=0．由题设A
k-1
α≠0，所以λ
0
=0．类似地可以证明λ
1
=λ
2
=…=λ
k-1
=0，因此向量组α，Aα，…，A
k-1
α是线性无关的．
【答案解析】
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