问答题
设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f"(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x
2
y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解．
【正确答案】
【答案解析】解 令P(x，y)=xy(x+y)-f(x)y，Q(x，y)=f"(x)+x
2
y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f"(x)+x
2
y]dy=0为全微分方程，所以
，即f"(x)+f(x)=x
2
，
解得f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由f(0)=0，f"(0)=1得C 1 =2，C 2 =1，
所以f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
原方程为[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得
(xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，
即
，
原方程的通解为
，即f"(x)+f(x)=x
2
，
解得f(x)=C 1 cosx+C 2 sinx+x 2 -2，由f(0)=0，f"(0)=1得C 1 =2，C 2 =1，
所以f(x)=2cosx+sinx+x 2 -2．
原方程为[xy 2 -(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x 2 y)dy=0，整理得
(xy 2 dx+x 2 ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，
即
，
原方程的通解为