解答题
9.[2013年] 设A=
．B=
．B=
【正确答案】因所给矩阵方程不易化为式(2．2．4．1)中三种类型的矩阵方程，下用待定元素法求之．为此设出矩阵C中的元素，将方程AC—CA=B；化为一非齐次线性方程解之．
设C=
，则AC=
由AC—CA=B得到四元非齐次线性方程组：
①
存在矩阵C使AC—CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵
用初等行变换化为阶梯形矩阵：
当a≠一1或b≠0时，因秩(
)≠秩(A)，方程组无解．
当a=一l且b=0时，秩(
)=秩(A)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为
α1=[1，a，1，0]T=[1，一1，l，0]T，α2=[1，0，0，1]T，
则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．
而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为
X=c1[1，一1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T，
即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+l，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=一c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为
C=
(c1,c2为任意常数)．
设C=
，则AC=由AC—CA=B得到四元非齐次线性方程组：
①存在矩阵C使AC—CA=B成立，上述方程组必有解．为此将上述方程组的增广矩阵
用初等行变换化为阶梯形矩阵：当a≠一1或b≠0时，因秩(
)≠秩(A)，方程组无解．当a=一l且b=0时，秩(
)=秩(A)=2＜n=4，方程组有解，且有无穷多解．由基础解系和特解的简便求法得到，其基础解系为α1=[1，a，1，0]T=[1，一1，l，0]T，α2=[1，0，0，1]T，
则对应齐次线性方程组的通解为c1α1+c2α2．
而方程组①的特解为[1，0，0，0]T，故方程组①的通解为
X=c1[1，一1，1，0]T+c2[1，0，0，1]T+[1，0，0，0]T，
即X=[x1，x2，x3，x4]T=[c1+c2+l，－c1，c1，c2]T，亦即x1=c1+c2+1，x2=一c1，x3=c1，x4=c2(c1，c2为任意常数)，故所求的所有矩阵为
C=
(c1,c2为任意常数)．【答案解析】