解答题
23.已知二次型f(x1，x2，x3)＝2x12＋3x22＋3x32＋2ax2x3(a﹥0)，若二次型f的标准形为f＝y12＋2y22＋5y32，求a的值及所使用的正交变换矩阵。
【正确答案】二次型f的矩阵A＝
，特征方程为
｜λE－A｜＝(λ－2)(λ2－6λ+9－a2)＝0，
由标准形可知，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝5。
将λ＝1代入特征方程，得a2－4＝0，由a﹥0可知a＝2，
此时A＝
。
解(λiE－A)x＝0，得到特征值λi(i＝1，2，3)对应的特征向量分别为
α1＝(0，1，﹣1)T，α2＝(1，0，0)T，α3＝(0，1，1)T。
由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α1，α2，α3单位化，
。
故所用的正交变换矩阵为
，特征方程为｜λE－A｜＝(λ－2)(λ2－6λ+9－a2)＝0，
由标准形可知，A的特征值为λ1＝1，λ2＝2，λ3＝5。
将λ＝1代入特征方程，得a2－4＝0，由a﹥0可知a＝2，
此时A＝
。解(λiE－A)x＝0，得到特征值λi(i＝1，2，3)对应的特征向量分别为
α1＝(0，1，﹣1)T，α2＝(1，0，0)T，α3＝(0，1，1)T。
由于实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必正交，故只需将α1，α2，α3单位化，
。故所用的正交变换矩阵为
【答案解析】