求下列不定积分：(Ⅰ)
dx； (Ⅱ)
(a＞0)； (Ⅲ)∫x(1－
dx； (Ⅱ)(a＞0)； (Ⅲ)∫x(1－
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)令x=
(0≤t≤π，t≠
)，于是dx=
，则
dx=∫sin
2
tcostdt.sgnx=∫sin
2
tdsint.sgnx=
sin
3
t.sgnx+C， 其中sgnx=
再用上面的三角形示意图(sint=
)，则得
(Ⅱ)令x=atant(
)，于是dx=asec
2
tdt，
=asect，则
dt=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C， 再利用上面的三角形示意图，则有
其中C
1
=C－lna． (Ⅲ)由于
dx
2
，故可令x
2
=sint，于是
(0≤t≤π，t≠
)，于是dx=
，则
dx=∫sin
2
tcostdt.sgnx=∫sin
2
tdsint.sgnx=
sin
3
t.sgnx+C， 其中sgnx=
再用上面的三角形示意图(sint=
)，则得
(Ⅱ)令x=atant(
)，于是dx=asec
2
tdt，
=asect，则
dt=∫sectdt=ln｜sect+tant｜+C， 再利用上面的三角形示意图，则有
其中C
1
=C－lna． (Ⅲ)由于
dx
2
，故可令x
2
=sint，于是
【答案解析】