问答题
A为n(n≥3)阶非零实矩阵，A
ij
为｜A｜中元素a
ij
的代数余子式，试证明：
(1)a
ij
=A
ij
<=>A
T
A=E，且｜A｜=1；
(2)a
ij
=－A
ij
<=>A
T
A=E，且｜A｜=－1．
【正确答案】正确答案：(1)当a
ij
=A
ij
时，有A
T
=A
*
，则A
T
A=A
*
A=｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
，不全为0，所以
而tr(AA
T
)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AA
T
=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜
n－2
=1，于是｜A｜=1，故A
T
A=E． 反之，若A
T
A=E且｜A｜=1，则A
*
A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A
T
A=A
*
A，A
T
=A
*
，即a
ij
=A
ij
． (2)当a
ij
=－A
ij
时，有A
T
=－A
*
，则A
T
A=－A
*
A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
不全为0，所以
而tr(AA
T
)=tr(｜A｜E)=N｜A｜，这说明｜A｜＞0，在 AA
T
=｜A｜E两边取行列式，得｜A｜
n－2
=1，于是｜A｜=1，故A
T
A=E． 反之，若A
T
A=E且｜A｜=1，则A
*
A=｜A｜E=E且A可逆，于是，A
T
A=A
*
A，A
T
=A
*
，即a
ij
=A
ij
． (2)当a
ij
=－A
ij
时，有A
T
=－A
*
，则A
T
A=－A
*
A=－｜A｜E．由于A为n阶非零实矩阵，即a
ij
不全为0，所以
【答案解析】