【正确答案】正确答案：(1)由题设，非齐次线性方程组 [α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ]x=α ₅ 有通解k[一1，2，0，3] ^T +[2，一3，1，5] ^T ，则 r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ )=r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₅ )=3． 且由对应齐次方程组的通解知，一α ₁ +2α ₂ +3α ₄ =0，即α ₁ =2α ₂ +3α ₄ ，故α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性无关(若线性相关，则r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ )＜3，这和题设矛盾)．α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 是α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 及α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₅ 的极大线性无关组，α ₁ ，α ₅ 均可由α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性表示，从而r(α ₂ ，α ₃ ，α ₄ )=r(α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₅ )=3． 方程组 [α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ]x=α ₅ (*) 有唯一解．由题设条件，α ₅ 可由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性表示，且表示法不唯一，可取k=2，使α ₅ 由α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ 线性表示时，不出现α ₁ ，则得 α ₅ =α ₂ +α ₃ +11α ₄ ，故方程组(*)的通解(唯一解)为x=[1，1，11] ^T ． (2)对于非齐次线性方程组 [α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₄ +α ₅ ]x=α ₅ ， (**) 因r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₄ +α ₅ )=r(α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₄ +α ₅ ,α ₅ )=3，故方程组(**)的通解的结构为 k ₁ ξ ₁ +k ₂ ξ ₂ +η. 因[α，α，α，α，α+α] =α ₅ ，故η ₁ = [α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₄ +α ₅ ] =α ₅ ，故η ₂ = [α ₁ ，α ₂ ，α ₃ ，α ₄ ，α ₄ +α ₅ ] =0，故ξ ₁ = 所以方程组(**)的通解为 k ₁ ξ ₁ +k ₂ (η ₁ 一η ₂ )+η ₂ =