【正确答案】显然A^TA，B^TB都是n阶的实对称矩阵，从而A^TA＋B^TB也是n阶实对称矩阵．
由于r(A＋B)＝n，n元齐次线性方程组(A＋B)X＝0没有非零解．于是，当α是一个非零n维实的列向量时，(A＋B)α≠0，因此Aα与Bα不会全是零向量，从而α^T(A^TA＋B^TB)α＝α^TA^TAα＋α^TB^TBα＝‖Aα‖²＋‖Bα‖²＞0．根据定义，A^TA＋B^TB正定．