用配方法化下列次型为标准型
(1)f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝χ
1
2
＋2χ
2
2
＋2χ
1
χ
2
－2χ
1
χ
3
＋2χ
2
χ
3
．
(2)f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝χ
1
χ
2
＋χ
1
χ
3
＋χ
2
χ
3
．
【正确答案】正确答案：(1)f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝χ
1
2
＋2χ
2
2
＋2χ
1
χ
2
－2χ
1
χ
3
＋2χ
2
χ
3
＝[χ
1
2
＋2χ
1
χ
2
－2χ
1
χ
3
＋(χ
2
－χ
3
)
2
]－(χ
2
－χ
3
)
2
＋2χ
2
2
＋2χ
2
χ
3
＝(χ
1
＋χ
2
－χ
3
)
2
＋χ
2
2
＋4χ
2
χ
3
－χ
3
2
＝(χ
1
＋χ
2
－χ
3
)
2
＋χ
2
2
＋4χ
2
χ
3
＋4χ
3
2
－5χ
3
2
＝(χ
1
＋χ
2
－χ
3
)
2
＋(χ
2
＋2χ
3
)
2
－5χ
3
2
． 令
原二次型化为f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
＋y
2
2
－5y
3
2
． 从上面的公式反解得变换公式：
变换矩阵C＝
(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换
f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
－y
2
2
＋2y
1
y
3
． 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y
1
2
－y
2
2
＋2y
1
y
3
＝(y
1
＋y
3
)
2
－y
2
2
－y
3
2
．
则f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝z
1
2
－z
2
2
－z
3
2
． 变换公式为
变换矩阵C＝
原二次型化为f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
＋y
2
2
－5y
3
2
． 从上面的公式反解得变换公式：
变换矩阵C＝
(2)这个二次型没有平方项，先作一次变换
f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝y
1
2
－y
2
2
＋2y
1
y
3
． 虽然所得新二次型还不是标准的，但是有平方项了，可以进行配方了： y
1
2
－y
2
2
＋2y
1
y
3
＝(y
1
＋y
3
)
2
－y
2
2
－y
3
2
．
则f(χ
1
，χ
2
，χ
3
)＝z
1
2
－z
2
2
－z
3
2
． 变换公式为
变换矩阵C＝
【答案解析】