解答题
14.假设：
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。
求函数y=f(x)的表达式。
①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；
②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；
③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。
求函数y=f(x)的表达式。
【正确答案】由题设可得
∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，
两端求导，得
f(x)=ex一f'(x)，
即有
f'(x)+f(x)=ex。
由一阶线性方程求解公式，得
f(x)=e－x[∫ex．exdx+C]=Ce－x+
ex。
由f(0)=0得C=
，因此所求函数为
f(x)=
∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，
两端求导，得
f(x)=ex一f'(x)，
即有
f'(x)+f(x)=ex。
由一阶线性方程求解公式，得
f(x)=e－x[∫ex．exdx+C]=Ce－x+
ex。由f(0)=0得C=
，因此所求函数为f(x)=
【答案解析】