解答题
设f"(x)＜0，f(0)=0，证明：对任何x
1
＞0，x
2
＞0有
f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)．
【正确答案】
【答案解析】
[证] 由拉格朗日中值定理有
f(x
1
)=f(x
1
)-f(0)=x
1
f'(ξ
1
)，0＜ξ
1
＜x
1
，
f(x
1
+x
2
)-f(x
2
)=x
1
f'(ξ
2
)，x
2
＜ξ
2
＜x
1
+x
2
．
不妨设x
1
≤x
2
，从而ξ
1
＜ξ
2
，因为f"(x)＜0．所以f'(x)单调递减，因为f'(ξ
2
)＜f'(ξ
1
)，
故 f(x
1
+x
2
)-f(x
2
)＜x
1
f'(ξ
1
)=f(x
1
)．
即 f(x
1
+x
2
)＜f(x
1
)+f(x
2
)．
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