解答题
14.设a＞0，函数f(x)在[0，+∞)上连续有界，证明：微分方程y'+ay=f(x)的解在[0，+∞)上有界．
【正确答案】原方程的通解为
y(x)=e一ax[C+∫0xf(t)aatdt]，
设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有
｜y(x)｜=｜e一ax[C+∫0xf(t)dt]｜
≤｜Ce一ax｜+e一ax｜∫0xf(t)eatdt｜
≤｜C｜+Me一ax∫0xeatdt
y(x)=e一ax[C+∫0xf(t)aatdt]，
设f(x)在[0，+∞)上的上界为M，即｜f(x)｜≤M，则当x≥0时，有
｜y(x)｜=｜e一ax[C+∫0xf(t)dt]｜
≤｜Ce一ax｜+e一ax｜∫0xf(t)eatdt｜
≤｜C｜+Me一ax∫0xeatdt
【答案解析】