解答题
30.设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f″(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．
【正确答案】因为f″(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x－x0)．
取x0=∫abxφ(x)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(x)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得
f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f′(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，
上述不等式两边再在区间[a，b]上积分，得∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．
【答案解析】