问答题
微分方程4x2y'2-y2=xy3，证明：与其积分曲线关于坐标原点(0，0)成中心对称的曲线，也是此微分方程的积分曲线．
【正确答案】设微分方程的积分曲线为y=f(x)，即有4x2f'2(x)-f2(x)=xf3(x)．又设与积分曲线y=f(x)成中心对称的曲线为y=g(x)，则有f(-x)=-g(x)，f'(-x)=g'(x)．对方程4x2f'2(x)-f2(x)≡xf3(x)用-x代替x得
4(-x)2f'2(-x)-f2(-x)≡-xf3(-x)，
即
4x2[f'(-x)]2-[-f(-x)]2≡x[-f(-x)]3
于是4x2g'2(x)-g3(x)≡xg3(x)，这就证明了y=g(x)也是微分方程的积分曲线．
【答案解析】