问答题
问答题
证明方程x
n
+x
n-1
+…+x=1(n为大于1的整数)在区间
【正确答案】
【答案解析】证 令f(x)=x
n
+x
n-1
+…+x-1(n＞1)，则f(x)在
上连续．且
故由闭区间上连续函数的零点定理知，f(x)在区间
内至少有一个零点，即方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间
内至少有一个实根．
又
故f(x)在
内单调增加，可知f(x)在区间
内只有一个零点．从而方程f(x)=0，即x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间
上连续．且
故由闭区间上连续函数的零点定理知，f(x)在区间
内至少有一个零点，即方程x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间
内至少有一个实根．
又
故f(x)在
内单调增加，可知f(x)在区间
内只有一个零点．从而方程f(x)=0，即x
n
+x
n-1
+…+x=1在区间
问答题
记上一小题中的实根为x
n
，证明
【正确答案】
【答案解析】解 由于
，所以数列{x
n
}有界．又
而
，所以
即
显然方括号内各项均为正，于是有
x n ≥x n+1 ，n=2，3，…，
即{x n }单调减少．
由以上讨论知，数列{x n }单调有界，故{x n }收敛，设
．由于
令n→∞，并注意到
，则有
，解得
，
即
，所以数列{x
n
}有界．又
而
，所以
即
显然方括号内各项均为正，于是有
x n ≥x n+1 ，n=2，3，…，
即{x n }单调减少．
由以上讨论知，数列{x n }单调有界，故{x n }收敛，设
．由于
令n→∞，并注意到
，则有
，解得
，
即