解答题
设f(x)二阶连续可导，f(0)=0，f'(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，求f(x)及该全微分方程的通解.
【正确答案】
【答案解析】[解] 令P(x，y)=xy(z+y)-f(x)y，Q(x，y)=f'(x)+x2y，因为[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f'(x)+x2y]dy=0为全微分方程，所以
即f"(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f'(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2.
原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即
原方程的通解为
即f"(x)+f(x)=x2，解得f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2，由f(0)=0，f'(0)=1得C1=2，C2=1，所以f(x)=2cosx+sinx+x2-2.原方程为[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0，整理得(xy2dx+x2ydy)+2(ydx+xdy)-2(ycosxdx+sinxdy)+(-ysinxdx+cosxdy)=0，即
原方程的通解为