设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫
0
π
f(x)cosxdx=∫
0
π
f(x)sinxdx=0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f
'
(ξ)=0．
【正确答案】正确答案：令F(x)=∫
0
x
f(t)sintdt，因为F(0)=F(π)=0，所以存在x
1
∈(0，π)，使得F
'
(x
1
)=0，即f(x
1
)sinx
1
=0，又因为sinx
1
≠0，所以f(x
1
)=0． 设x
1
是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x
1
时，有sin(x—x
1
)f(x)恒正或恒负，于是∫
0
π
sin(x—x
1
)f(x)dx≠0． 而∫
0
π
sin(x—x
1
)f(x)dx=cosx
1
∫
0
π
f(x)sinxdx—sinx
1
∫
0
π
f(x)cosxdx=0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点，不妨设f(x
1
)=f(x
2
)=0，x
1
，x
2
∈(0，π)且x
1
＜x
2
，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x
1
，x
2
)
【答案解析】