设有抛物线C
1
：χ
2
＝ay和圆C
2
：χ
2
＋y
2
＝2y．
(Ⅰ)确定a的取值范围，使得C
1
，C
2
交于三点O，M，P(如图)；
(Ⅱ)求抛物线C
1
与弦MP所围平面图形面积S(a)的最大值；
(Ⅲ)求上述具有最大面积的平面图形绕χ轴旋转一周所得旋转体体积V．
【正确答案】正确答案：(Ⅰ)由
得ay＋y
2
＝2y 解得y＝0，y＝2－a，由0＜y＝2－a＜2，可得0＜a＜2．此时C
1
与C
2
的三交点是 0(0，0)，M(－
，2－a)，P(
，2－a)． (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 S(a)＝
(0＜a＜2) 要使S(a)最大，只要f(a)＝a(2－a)
3
最大(0＜a＜2)．由于是 f′(a)＝(2－a)
3
－3a(2－a)
2
＝2(2－a)
2
(1－2a)
时，f(
)最大．此时所求面积的最大值 S
max
＝
(Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为
得ay＋y
2
＝2y 解得y＝0，y＝2－a，由0＜y＝2－a＜2，可得0＜a＜2．此时C
1
与C
2
的三交点是 0(0，0)，M(－
，2－a)，P(
，2－a)． (Ⅱ)由定积分的几何意义及对称性可得所论平面图形面积 S(a)＝
(0＜a＜2) 要使S(a)最大，只要f(a)＝a(2－a)
3
最大(0＜a＜2)．由于是 f′(a)＝(2－a)
3
－3a(2－a)
2
＝2(2－a)
2
(1－2a)
时，f(
)最大．此时所求面积的最大值 S
max
＝
(Ⅲ)由旋转体的体积计算公式可得所求旋转体的体积(圆柱体体积减去二倍抛物旋转体的体积)为
【答案解析】