问答题
设u=u(x，y)在全平面有连续偏导数，
(Ⅰ)作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，求
与
的关系式；
(Ⅱ)若
，求证：u(x，y)=u(0，0)为常数；
(Ⅲ)若
，求证：
(Ⅰ)作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，求
与的关系式；(Ⅱ)若
，求证：u(x，y)=u(0，0)为常数；(Ⅲ)若
，求证：
【正确答案】(Ⅰ)由复合函数求导法
(Ⅱ)由题(Ⅰ)，
又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续
，有
(Ⅲ)由题(Ⅰ)，有
对r从R到r积分得
注意，u(Rcosθ，Rsinθ)对θ在[0，2π]上连续，故有界.
又
从而
因此
(Ⅱ)由题(Ⅰ)，
又u(rcosθ，rsinθ)对r在[0，+∞)上连续
，有(Ⅲ)由题(Ⅰ)，有
对r从R到r积分得
注意，u(Rcosθ，Rsinθ)对θ在[0，2π]上连续，故有界.
又
从而
因此
【答案解析】