解答题
2.讨论曲线y=2lnx与y=2x+ln2x+k在(0，+∞)内的交点个数(其中k为常数)．
【正确答案】令f(x)=2X+ln2x+k一2lnx(x∈(0，+∞))，于是本题两曲线交点个数即为函数f(x)的零点个数．由
令f'(x)=0，可解得唯一驻点x0=1∈(0，+∞)．
当0＜x＜1时f'(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f'(x)＞0，f(x)在[1，+∞)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关．
当f(1)＞0即k>一2时，f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点．
当f(1)=0即k=一2时，f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x0=1．
当f(1)＜0即k＜一2时，需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限：
由连续函数的零点定理可得，
令f'(x)=0，可解得唯一驻点x0=1∈(0，+∞)．
当0＜x＜1时f'(x)＜0，f(x)在(0，1]单调减少；而当x＞1时f'(x)＞0，f(x)在[1，+∞)单调增加．于是f(1)=2+k为f(x)在(0，+∞)最小值．因此f(x)的零点个数与最小值f(1)=2+k的符号有关．
当f(1)＞0即k>一2时，f(x)在(0，+∞)内恒为正值函数，无零点．
当f(1)=0即k=一2时，f(x)在(0，+∞)内只有一个零点x0=1．
当f(1)＜0即k＜一2时，需进一步考察f(x)在x→0+与x→+∞的极限：
由连续函数的零点定理可得，
【答案解析】