综合题
7.某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处(如图所示)．已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．
【正确答案】 以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，设M(x，y)是沿AP、BP运土同样远的点，则
∣MA∣+∣PA∣=∣MB∣+∣PB∣，
∴∣MA∣—∣MB∣=∣PB∣－∣PA∣=50．
在△PAB中，由余弦定理得
∣AB∣2=∣PA∣2+∣PB∣2－2 ∣PA∣∣PB∣cos60°=17500，且50＜∣AB∣．由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为
=1(a＞0，b＞0)．
∴M点轨迹是
=1(x≥25)在半圆内的－段双曲线弧．于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．
∣MA∣+∣PA∣=∣MB∣+∣PB∣，
∴∣MA∣—∣MB∣=∣PB∣－∣PA∣=50．
在△PAB中，由余弦定理得
∣AB∣2=∣PA∣2+∣PB∣2－2 ∣PA∣∣PB∣cos60°=17500，且50＜∣AB∣．由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设此双曲线方程为
=1(a＞0，b＞0)．∴M点轨迹是
=1(x≥25)在半圆内的－段双曲线弧．于是运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．【答案解析】