设齐次线性方程组
为正定矩阵，求a，并求当｜X｜I=
为正定矩阵，求a，并求当｜X｜I=
【正确答案】正确答案：因为方程组有非零解，所以
=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以a
ii
＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由 ｜λE—A｜=
=(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0 得A的特征值为1，4，10．因为A为买对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f=X
T
AX
y
1
2
+4y
2
2
+10y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
) 而当｜x｜=
时， y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=Y
T
Y=Y
T
Q
T
QT=(QY)
T
(QY)=X
T
X=｜X｜
2
=2 所以当｜X｜=
时，X
T
AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y
1
=y
2
=0，y
3
=
=a(a+1)(a一3)=0，即a=一1或a=0或a=3．因为A是正定矩阵，所以a
ii
＞0(i=1，2，3)，所以a=3．当a=3时，由 ｜λE—A｜=
=(λ一1)(λ一4)(λ一10)=0 得A的特征值为1，4，10．因为A为买对称矩阵，所以存在正交矩阵Q，使得 f=X
T
AX
y
1
2
+4y
2
2
+10y
3
2
≤10(y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
) 而当｜x｜=
时， y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=Y
T
Y=Y
T
Q
T
QT=(QY)
T
(QY)=X
T
X=｜X｜
2
=2 所以当｜X｜=
时，X
T
AX的最大值为20(最大值20可以取到，如y
1
=y
2
=0，y
3
=
【答案解析】