选择题 3.设有齐次线性方程组AX=0和BX=0,其中A,B均为m×n矩阵,现有四个命题:
①若AX=0的解均是BX=0的解,则秩(A)≥秩(B);
②若秩(A)≥秩(B),则AX=0的解均是BX=0的解;
③若AX=0与BX=0同解,则秩(A)=秩(B);
④若秩(A)=秩(B),则AX=0与BX=0同解.
那么,以上命题中正确的是( ).
【正确答案】 B
【答案解析】解一 由命题2.4.6.2知命题③正确.又命题①也正确.这是因为AX=0的解均是BX=0的解,则AX=0的基础解系是BX=0的基础解系的一部分,因此AX=0的基础解系所含向量个数小于等于BX=0的基础解系所含向量的个数,即n-秩(A)≤n-秩(B),从而秩(A)≥秩(B).
解二 用排错法求之.取则易求得AX=0的通解为c1[0,0,1]T=[0,0,c1]T,BX=0的通解为
c2[1,0,0]T+c3[0,1,0]T=[c2,c3,0]T,其中c1,c2,c3为任意常数.
虽然秩(A)=2>秩(B)=1,但AX=0的解[0,0,c1]T不都是BX=0的解[c2,c3,0]T,故命题②错误.
若取