选择题
9.[2005年] 设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A(α1+α2)线性无关的充分必要条件是( )．
【正确答案】
B
【答案解析】所给向量为抽象向量组，其线性相关性常采用定义证明．因α1，α2线性无关，也可采用矩阵表示法证之(见命题2．3．2．2)．
因Aα1=λ1α1，Aα2=λ1α2，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2，故
由命题2．3．2．2知α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件为
=λ2≠0．仅(B)入选．
解二 仅(B)入选．由题设有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2．设k1α1+k2A(α1+α2)=0．由k1α1+k2A(α1+α2)=(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0及α1，α2线性无关得到齐次方程组
由α1，A(α1+α2)线性无关
k1=k2=0
方程组①只有零解
因Aα1=λ1α1，Aα2=λ1α2，A(α1+α2)=λ1α1+λ2α2，故
由命题2．3．2．2知α1，A(α1+α2)线性无关的充要条件为
=λ2≠0．仅(B)入选．解二 仅(B)入选．由题设有Aα1=λ1α1，Aα2=λ2α2．设k1α1+k2A(α1+α2)=0．由k1α1+k2A(α1+α2)=(k1+λ1k2)α1+λ2k2α2=0及α1，α2线性无关得到齐次方程组
由α1，A(α1+α2)线性无关
k1=k2=0方程组①只有零解