解答题
7.设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTβ=0。记n阶矩阵A=αβT。求：
(Ⅰ)A2；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
(Ⅰ)A2；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量。
【正确答案】(Ⅰ)对等式αTβ=0两边取转置，有(αTβ)T=βTα=0，即βTα=0。
利用βTα=0及矩阵乘法的运算法则，有
A2=(αβT)2=αβTαβT=α(βTα)βT=α0βT=0αβT=0，
即A2是n阶零矩阵。
(Ⅱ)设λ是A的任一特征值，ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量，即Aξ=λξ。
对上式两边左乘A得A2ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ2ξ，由(Ⅰ)的结果A2=O，得λ2ξ=A2ξ=0，因ξ≠0，故λ=0(n重根)，即矩阵的全部特征值为零。
下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式
A=αβT=
。
不妨设a1≠0，b1≠0，则有
利用βTα=0及矩阵乘法的运算法则，有
A2=(αβT)2=αβTαβT=α(βTα)βT=α0βT=0αβT=0，
即A2是n阶零矩阵。
(Ⅱ)设λ是A的任一特征值，ξ(ξ≠0)是A属于特征值λ的特征向量，即Aξ=λξ。
对上式两边左乘A得A2ξ=Aλξ=λ(Aξ)=λ(λξ)=λ2ξ，由(Ⅰ)的结果A2=O，得λ2ξ=A2ξ=0，因ξ≠0，故λ=0(n重根)，即矩阵的全部特征值为零。
下面求A的特征向量：先将A写成矩阵形式
A=αβT=
。不妨设a1≠0，b1≠0，则有
【答案解析】