问答题
设Ω：x
2
+y
2
+z
2
≤1，证明：
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令f(x)=x+2y-2z+5，
因为f" x =1≠0，f" y =2≠0，f" z =-2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x 2 +y 2 +z 2 =1上取到最大值和最小值．
令F(x，y，z，λ)=x+2y-2z+5+λ(x 2 +y 2 +z 2 -1)，
由
得驻点为
因为f(P 1 )=8，f(P 2 )=2，所以
在Ω上的最大值与最小值分别为2和
，于是
因为f" x =1≠0，f" y =2≠0，f" z =-2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x 2 +y 2 +z 2 =1上取到最大值和最小值．
令F(x，y，z，λ)=x+2y-2z+5+λ(x 2 +y 2 +z 2 -1)，
由
得驻点为
因为f(P 1 )=8，f(P 2 )=2，所以
在Ω上的最大值与最小值分别为2和
，于是