问答题
设n阶矩阵A满足A
2
+2A-3E=O．
问答题
证明矩阵A，A+2E，A+4E可逆，并求出它们的逆矩阵；
【正确答案】
【答案解析】[解] 由
所以，矩阵A可逆，且
由于
，所以矩阵A+2E可逆，且
由于A 2 +2A-3E=O，所以A 2 +2A-8E=-5E．
而A 2 +2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且
所以，矩阵A可逆，且
由于
，所以矩阵A+2E可逆，且
由于A 2 +2A-3E=O，所以A 2 +2A-8E=-5E．
而A 2 +2A-8E=(A+4E)(A-2E)，即(A+4E)(A-2E)=-5E．所以，矩阵A+4E可逆，且
问答题
当A≠E时，判断矩阵A+3E是否可逆，并说明理由．
【正确答案】
【答案解析】[解] 当A≠E时，A-E≠O．
由于A 2 +2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O．
令A-E=(α 1 ，α 2 ，…，α n )，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0的解，而A-E不是零矩阵，说明α 1 ，α 2 ，…，α n )中至少有一个向量不为0，即齐次线性方程组(A+3E)x=0有非零解．
故矩阵A+3E不是可逆矩阵．
由于A 2 +2A-3E=O，因式分解得(A+3E)(A-E)=O．
令A-E=(α 1 ，α 2 ，…，α n )，其中的每一列都是齐次线性方程组(A+3E)x=0的解，而A-E不是零矩阵，说明α 1 ，α 2 ，…，α n )中至少有一个向量不为0，即齐次线性方程组(A+3E)x=0有非零解．
故矩阵A+3E不是可逆矩阵．