设f(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，∫
a
b
f(χ)dχ＝0．证明：
(1)存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0；
(2)存在ξ
i
∈(a，b)(i＝1，2)，且ξ
1
≠ξ
2
，使得f′(ξ
i
)＋f(ξ
i
)＝0(i＝1，2)；
(3)存在ξ∈(a，b)，使得f〞(ξ)＝f(ξ)；
(4)存在η∈(a，b)，使得f〞(η)－3f′(η)＋2f(η)＝0．
【正确答案】正确答案：(1)令F(χ)＝∫
a
χ
f(t)dt，则F(χ)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F′(χ)＝f(χ)． 故存在c∈(a，b)，使得∫
a
b
f(χ)dχ＝F(b)－F(a)＝F′(c)(b－a)＝f(c)(b－a)＝0，即f(c)＝0． (2)令h(χ)＝e
χ
f(χ)，因为h(a)＝h(c)＝h(b)＝0，所以由罗尔定理，存在ξ
1
∈(a，c)，ξ
2
∈(c，b)，使得h′(ξ
1
)＝h′(ξ
2
)＝0， 而h′(χ)＝e
χ
[f′(χ)＋f(χ)]且e
χ
≠0，所以f′(ξ
i
)＋f(ξ
i
)＝0(i＝1，2)． (3)令φ(χ)＝e
－χ
[f′(χ)＋f(χ)]，φ(ξ
2
)＝φ(ξ
2
)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ
1
，ξ
2
)
(a，b)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝e
－χ
[f〞(χ)－f(χ)]且e
－χ
≠0，所以f〞(ξ)＝f(ξ)． (4)令g(χ)＝e
－χ
f(χ)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0， 由罗尔定理，存在η
1
∈(a，c)，η
2
∈(c，b)，使得g′(η
1
)＝g′(η
2
)＝0， 而g′(χ)＝e
－χ
[f′(χ)－f(χ)]且e
－χ
≠0，所以f′(η
1
)－f(η
1
)＝0，f′(η
2
)－f(η
2
)＝0． 令P(z)一e-2X Ef’(z)一厂(z)]，P('7，)一垆(孕)一0， 由罗尔定理，存在η∈(η
1
，η
2
)
(a，b)，使得φ′(ξ)＝0， 而φ′(χ)＝e
－χ
[f〞(χ)－f(χ)]且e
－χ
≠0，所以f〞(ξ)＝f(ξ)． (4)令g(χ)＝e
－χ
f(χ)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0， 由罗尔定理，存在η
1
∈(a，c)，η
2
∈(c，b)，使得g′(η
1
)＝g′(η
2
)＝0， 而g′(χ)＝e
－χ
[f′(χ)－f(χ)]且e
－χ
≠0，所以f′(η
1
)－f(η
1
)＝0，f′(η
2
)－f(η
2
)＝0． 令P(z)一e-2X Ef’(z)一厂(z)]，P('7，)一垆(孕)一0， 由罗尔定理，存在η∈(η
1
，η
2
)
【答案解析】